Déterminer si des réels sont associés au même point du cercle trigonométrique - Corrigé

Énoncé

Dans chaque cas, dire si les réels sont associés au même point du cercle trigonométrique `\mathcal{C}` .

1. `a=\frac{\pi}{3}` et `b=-\frac{5\pi}{3}`

2. `a=\frac{\pi}{4}` et `b=\frac{15\pi}{4}`

3. `a=\frac{\pi}{6}` et `b=\frac{25\pi}{6}`

4. `a=\pi` et \(b=1\,515\pi\)

Solution

1. \(\begin{align*}a-b=\frac{\pi}{3}-\left(-\frac{5\pi}{3}\right)=\frac{\pi}{3}+\frac{5\pi}{3}=\frac{6\pi}{3}=2\pi \times 1\end{align*}\) .
Donc \(a-b = 2 \pi \times k\)  avec  \(k=1\) , et \(k \in \mathbb{Z}\) , donc a et b sont associés au même point du cercle trigonométrique `\mathcal{C}` .

2. \(\begin{align*}a-b=\frac{\pi}{4}-\frac{15\pi}{4}=-\frac{14\pi}{4}=-\frac{7\pi}{2}\end{align*}\)
Donc \(a-b = 2 \pi \times k\)  avec  \(k= - \frac{7}{4}\) , et \(k \not\in \mathbb{Z}\) , donc a et b ne sont pas associés au même point du cercle trigonométrique   `\mathcal{C}` .

3.  \(\begin{align*}a-b=\frac{\pi}{6}-\frac{25\pi}{6}=-\frac{24\pi}{6}=-4\pi=2\pi \times (-2)\end{align*}\)  
Donc \(a-b = 2 \pi \times k\)  avec  \(k=-2\) , et \(k \in \mathbb{Z}\) , donc a et b sont associés au même point du cercle trigonométrique   `\mathcal{C}` .

4.  \(\begin{align*}a-b=\pi-1\,515\pi=-1\,514\pi=2\pi \times (-757)\end{align*}\)
Donc \(a-b = 2 \pi \times k\)  avec  \(k=-757\) , et \(k \in \mathbb{Z}\) , donc a et b sont associés au même point du cercle trigonométrique   `\mathcal{C}` .